이항 분포
이항분포는 ‘확률 p로 앞이 나오는 동전을 n번 던졌을 때 앞이 몇 번 나올지’의 분포이다. 즉 확률 p로 1, 확률 q=(1-p)로 0이 나오는 독립적인 확률 변수 \(Z_{1},...,Z_{n}\)을 두면, \(X \equiv Z_{1}+...+Z_{n}\)의 분포가 이항분포가 된다.
이항 분포는 n과 p에 따라 분포의 모양이 바뀌어서 \(Bn(n,p)\)처럼 나타낸다.
균등분포(생길 수 있는 값으로 n개의 경우가 있을 때 확률이 모두 1/n인 분포)인 동전을 던져 n=7번 던져 앞면이 세 번 나오는 확률 P(X=3)을 찾아보자.
- 뒤뒤뒤뒤앞앞앞 = \(p^{3}q^{4}\)
- 뒤뒤뒤앞앞앞뒤 = \(p^{3}q^{4}\)
- …
이렇게 총 35개의 \(p^{3}q^{4}\)가 나오는데 이를 이용해 일반화를 하면 다음과 같다.
\[P(X=k)=_{n}\mathrm{C}_{k}p^{k}q^{n-k} \qquad (k=0,1,2,...,n)\]순열과 조합
순열(Permutation)
n명의 사람 중에서 k명의 사람을 뽑아 한 줄로 나란히 늘어놓는 방법을 세는 방식. 첫 번째가 n가지 다음은 n-1 이런식으로 간다면 순열은 다음과 같이 표현된다.
\[_{n}\mathrm{P}_{k}=n(n-1)(n-2)...(n-k+1)\]팩토리얼을 사용해 다음과 같이 쓰는 경우가 많다.
\[_{n}\mathrm{P}_{k}=\frac{n!}{(n-k)!}\]조합(Combination)
조합은 n명의 사람 중에서 k 명의 사람을 고르지만 순서에 상관 없이 고르는 방식이다. 즉 1,2,3을 선택한 것과 3,2,1을 선택한 것은 동일하다.
\(_{n}\mathrm{C}_{k}\)로 표기하고 이항계수라고 불리기도 한다 순서를 생각하면 \(_{n}\mathrm{P}_{k}\)가지지만, 선택한 k명의 사람을 나열(\(_{k}\mathrm{P}_{k}=k!가지\))하는 방법의 차이는 무시하므로, \(_{n}\mathrm{P}_{k}\)를 k!로 나누어야 한다.
\[_{n}\mathrm{C}_{k}=\frac{_{n}\mathrm{P}_{k}}{k!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\]이항분포의 확률 계산에 나오는 경우의 수가 \(_{n}\mathrm{C}_{k}\)와 일치하는 이유는 패턴 가짓수는 길이가 n인 열에서 앞이 되는 곳을 k개 지정하는 조합의 수와 같기 때문이다.
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