베이즈 정리
조건부 확률의 응용이며 일종의 역문제를 생각한다. 역문제는 간단히 말해 결과에서 원인을 찾는 문제이다.
원인 \(X\)를 직접적으로 관측, 측정할 수 없을 때 거기서 일어난 결과 \(Y\)를 보고 원인 \(X\)를 추측하는 것이다.
여기서 \(P(원인)\)을 사전확률, \(P(원인 \mid 결과)\)를 사후확률이라고 한다. 베이즈 공식은 사후확률을 구하는 것이다.
ex1)
Q. 어떤 게임에서 몬스터를 쓰러뜨리면 보물 상자를 얻을 수 있다. 보물 상자는 확률 2/3로 함정이다. 함정의 낌새는 스킬로 판정가능하나, 스킬레벨이 낮아 확률 1/4로 판정이 잘못된다.
몬스터를 쓰러뜨리고 보물 상자에 스킬을 썼는데 ‘함정의 낌새가 없다’는 판정이 나왔을 때 실제로 보물 상자가 함정일 확률’은 얼마인가?
\(P(X=함정있음) = \frac{2}{3} \\
P(Y=낌새없음,X=함정있음) = \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{6} \\
P(Y=낌새있음,X=함정없음) = \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{4} \\
P(Y=낌새없음) = P(Y=낌새없음,X=함정있음)+P(Y=낌새있음,X=함정없음)=\frac{1}{6} + \frac{1}{4}=\frac{5}{12} \\
P(X=함정있음|Y=낌새없음)=\frac{P(X=함정있음,Y=낌새없음)}{P(Y=낌새없음)}\\ = \frac{P(Y=낌새없음,X=함정있음)}{P(Y=낌새없음)}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{12}}=\frac{3}{5}\)
ex2)
Q. 방패를 골랐을 때 1/2 확률로 보통, 1/3 확률로 상급, 1/6로 특제이다. 방패별 성능은 다음과 같다.
- 보통 방패는 1/18 확률로 몬스터의 공격을 피한다.
- 상급 방패는 1/6 확률로 몬스터의 공격을 피한다.
- 특제 방패는 1/3 확률로 몬스터의 공격을 피한다.
1.주운 방패를 장비했을 때 몬스터의 공격을 피할 확률은?
\[P(Y=피함)=P(Y=피함,X=보통)+P(Y=피함,X=상급)+{P(Y=피함,X=특제)}\\ =\frac{1}{18} \times \frac{1}{2}+\frac{1}{6} \times \frac{1}{3}+\frac{1}{3} \times \frac{1}{6}=\frac{5}{36}\]2.주운 방패를 장비하고 몬스터의 공격을 받았는데 공격을 피했다. 이때 방패가 특제일 확률은?
\[P(X=특제|Y=피함)=\frac{P(X=특제,Y=피함)}{P(Y=피함)}=\frac{\frac{1}{18}}{\frac{5}{36}}=\frac{2}{5}\]위의 예제들로 부터 결과로부터 원인을 구하는 방법을 공식화 할 수 있다. X를 원인, Y를 결과라고 했을 때 다음이 성립한다.
\[P(X=목표원인|Y=결과)=\frac{P(X=목표원인,Y=결과)}{\sum_{원인}P(X=원인,Y=결과)}\]
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