벡터공간

벡터공간(VectorSpace)

체(field) \(F\)에 대한 가군 \((V,+,\cdot)\) 을 벡터공간, \(V\)의 원소를 벡터라 한다.
이때 \(+\)는 벡터의 덧셈이고, \(\cdot\)는 벡터의 Scalar배이다.

(1) 벡터의 공리

• \((V,+)\)는 아벨군이다 \((u,v,w \in V)\).
  • \((u+v)+w=u+(v+w)\).
  • \(u+v=v+u\).
  • \(u + \vec{0} = u\) 인 \(\vec{0}\)가 \(V\)에 존재한다.
  • \(u + ( - u ) = \vec{0}\) 인 \(-u\)가 \(V\)에 존재한다.
• \((V,+,\cdot)\)는 \(F\)의 가군이다. \((k , m \in F)\).
  • \(k \cdot (m \cdot u) = (km) \cdot u\).
  • \(F\)의 곱셈 항등원 \(1\)에 대해 \(1 \cdot u = u\).
  • \((k_m) \cdot (u+v) = k \cdot u + m \cdot u + k \cdot v + m \cdot v\).

(2) 선형 생성(Linear Span)

1) 부분벡터공간

벡터공간 \(V\)상에서 정의된 덧셈과 스칼라배에 대하여 그 자체로서 벡터공간이 되는 \(V\)의 부분집합 \(W\)를 \(V\)의 부분벡터공간 또는 부분공간이라 한다.

2) 선형생성

벡터공간 \(V\)의 공집합이 아닌 부분집합 \(S={v_{1},v_{2}, \ ... \ ,v_{n}}\) 내의 벡터들의 가능한 모든 선형결합으로 이루어진, \(V\)의 부분벡터공간을 \(S\)의 (선형) 생성 \(span(S)\)이라 한다. 즉, \(span(S) = \begin{Bmatrix} \sum_{i=0}^{m} k_{i}v_{i} | \ k_{i} \in F , v_{i} \in S \end{Bmatrix}\) 이때 \(S\)가 \(span(S)\)을 (선형)생성한다라고 한다.

ex)

\(S=\begin{Bmatrix}(1,0),(0,1)\end{Bmatrix}\). \(F=\mathbb{R}\). \(\Rightarrow span(S) = \begin{Bmatrix}k(1,0)+m(0,1) \ | \ k,m \in F \end{Bmatrix}\). \(= \begin{Bmatrix}k(1,0)+m(0,1) \ | \ k,m \in F \end{Bmatrix}\). \(= \mathbb{R^{2}}\).

(3) 선형독립(Linear_independent)

다음을 만족 할 때, 벡터 \(a_{1}, ... ,a_{n}\)은 선형독립(일차독립 혹은 독립)이라고 한다.
수 \(u_{1}, ... , u_{n}\)에 대해
\(u_{1}a_{1}+...+u_{n}a_{n}=\mathbf{0}\)라면
‘\(u_{1}=...=u_{n}=0\)’
이를 반대로 생각했을 때 벡터(혹은 수의 집합) \(x_1 \ne x_2\)일 때, \(x_{1}-x_{2} \ne 0\)이 된다. 즉 결과 \(y\)에 대한 유일한 표현이 된다.
조건을 만족 못했을때 \(a{1}, ... ,a{n}\)을 선형종속(일차종속 혹은 종속)이라고 한다.
선형종속이 포함된 사상 \(A\)는 정방행렬이어도 차원을 감소시키는 사상이 된다.

ex)

• \(S_{1}=\begin{Bmatrix}(1,0),(0,1),(1,1)\end{Bmatrix}\). \(k_{1}(1,0)+k_{2}(0,1)+k_{3}(1,1)=\vec{0}\). \(\Rightarrow \left( {k_{1}=k_{2}=k_{3}=0 \\ k_{1}=k_{2}=1 , k_{3}=-1} \right.\). \(S_{1}\)는 선형종속 집합

• \(S_{1}=\begin{Bmatrix}(1,0),(0,1)\end{Bmatrix}\). \(k_{1}(1,0)+k_{2}(0,1)=\vec{0}\). \(\Rightarrow k_{1}=k_{2}=0\)._ $$S_{2}는 선형독립 집합

(4) 여러 벡터공간

1) 노름공간(Norm space)

노름이 부여된 \(K-\)벡터공간 \((V,\begin{Vmatrix} \cdot \end{Vmatrix})\)
노름이란 \(\forall u, v \in V, \forall k \in K\)에 대해 아래 세 조건을 만족시키는 함수
\(\begin{Vmatrix} \cdot \end{Vmatrix}: V \rightarrow [0, \infin)\)이다. \((K \in \begin{Bmatrix}R,C\end{Bmatrix} )\), 여기서 \(R\)은 실수집합 \(C\)는 복소수집합.

• \(\begin{Vmatrix} kv \end{Vmatrix} = \begin{vmatrix} k \end{vmatrix} \begin{Vmatrix} v \end{Vmatrix}\).
• \(\begin{Vmatrix} u+v \end{Vmatrix} \leqq \begin{Vmatrix} u \end{Vmatrix} + \begin{Vmatrix} v \end{Vmatrix}\).
• \(\begin{Vmatrix} v \end{Vmatrix} = 0 \Leftrightarrow v= \vec{0}\).

2) 내적공간

내적이 부여된 \(K-\)벡터공간 \((V,\left\langle \cdot,\cdot \right\rangle)\).
내적이란 \(\forall u, v, w \in V, \forall k \in K\)에 대해 아래 네 조건을 만족시키는 함수 \(\left\langle \cdot,\cdot \right\rangle : V \times V \rightarrow K\)이다. \((K\in \left\{ {R,C} \right\})\).

• \(\left\langle u+v,w \right\rangle = \left\langle u,w \right\rangle + \left\langle u,w \right\rangle\).
• \(\left\langle ku,v \right\rangle = k\left\langle v,u \right\rangle\).
• \(\left\langle u,v \right\rangle = \left\langle \overline{v,u} \right\rangle\).
• \(v \neq \vec{0} \Rightarrow \left\langle v,v \right\rangle > 0\).

3) 유클리드 공간

음이 아닌 정수 \(n\)에 대하여 \(n\)차원 유클리드공간 \(\mathbb{R^{n}}\)은 실수집합 \(\mathbb{R}\)의 \(n\)번 곱집합이며, 이를 \(n\)차원 실수 벡터공간으로써 정의하기도 한다. 내적 \(\left\langle u,v \right\rangle=\sum_{i=1}^{n}u_{i}v_{i}=u \cdot v\)을 정의하면 점곱, 스칼라곱 이라고도한다.

4) 기저와 차원

1 - 기저
벡터공간 \(V\)의 부분집합 \(B\)가 선형독립이고 \(V\)를 생성할 때, \(B\)를 V의 기저라 한다.

ex)

• \(B_{1} = \left\{ (1,0) ,(0,1)\right\}\). \(\Rightarrow span(B_{1}) = \mathbb{R^2}\).
  따라서 \(B_{1}\)은 \(V\)의 기저이다.
• \(B_{2} = \left\{ (1,0) ,(1,1) \right\}\). \((a,b) = k(1,0)+m(1,1) = (k+m,m)\)._ \(m=b, k=a-b\).
  따라서 \(B_{2}\)는 \(V\)의 기저이다.
• \(S= \left\{ (1,0), (0,1) , (1,1)\right\}\). \(span(S) = \mathbb{R^2}\).
  성립하지만 선형종속이다. 따라서 \(S\)는 \(V\)의 기저가 아니다.

2 - 차원
\(B\)가 벡터공간 \(V\)의 기저일 때 \(B\)의 원소의 개수를 \(V\)의 차원 \(dim(V)\)라 한다.

ex)

• 기저의 예제에서 \(dim(V)=n(B_{1})=n(B_{2})=2\).

3 - 정규기저
다음 조건을 만족하는 노름공간 \(V\)의 기저 \(B\)를 정규기저라 한다. \(\forall b \in B, \begin{Vmatrix}b\end{Vmatrix}=1\)

4 - 직교기저
다음 조건을 만족하는 내적공간 \(V\)의 기저 \(B\)를 직교기저라 한다. \(\forall b_{1},b_{2} \in B, \left\langle b_{1},b_{2} \right\rangle =0\)

5 - 정규직교기저
정규기저이자 직교기저인 내적공간의 기저를 정규직교기저라 한다.
특히 \(\mathbb{R^{n}}\)의 정규직교기저 $$\left{ (1,0,…,0),(0,1,…,0),(0,0,…,1) \right}를 표준기저라 한다.

ex)

\(\mathbb{R^2}\)에 대해서

• \(B_{1}= \left\{ (2,0),(1,1) \right\}\) 정규 X, 직교 X
• \(B_{2}= \left\{ (1,0),(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}) \right\}\) 정규 O, 직교 X
• \(B_{3}= \left\{ (1,1),(1,-1) \right\}\) 정규 X, 직교 O
• \(B_{4}= \left\{ (1,0),(0,1) \right\}\) 정규 O, 직교 O