대수구조

대수구조(Algebraic Structure)

대수 : 수를 대신한다.

수 뿐 아니라 수를 대신할 수 있는 모든 것을 대상으로 하는 집합과 그 집합에 부여된 연산이 여러 가지 공리로써 엮인 수학적 대상.
간단히 일련의 연산들이 주어진 집합을 대수구조라고 한다.

여러 대수구조

• 반군 : 집합과 그 위의 결합법칙을 따르는 하나의 이항 연산을 갖춘 대수구조

• 모노이드 : 항등원을 갖는 반군

• 군(group) : 역원을 갖는 모노이드 (집합, 이항연산 하나, 결합법칙, 항등원, 역원을 갖춰야 한다.)

• 아벨군(abelian group,또는 가환군(commutative group)) : 교환법칙이 성립하는 군

• 환(ring) : 덧셈에 대하여 아벨군, 곱셈에 대하여 반군(결합법칙)을 이루고 분배법칙이 성립하는 대수구조
  ex) A가 정수 집합, (A, +, x)의 경우 +가 아벨군, x가 반군(정수 공간에서 소수가 포함되지 않아 역원 존재하지 않음) 이때 대수구조 (A, +, x)는 환이다.

• 가군(module) : 어떤 환의 원소에 대한 곱셈이 주어지며, 분배법칙이 성립하는 아벨군
  ex) 벡터공간

• 가환환(commutative ring 또는 비가환체(skew field)) : 겁셈이 교환법칙을 만족하는 환

• 나눗셈환(division ring) : 0이 아닌 모든 원소가 역원(=항등원을 가진다)을 가지며, 원소의 개수가 둘 이상인 환

• 체(field) : 가환환인 나눗셈환. 즉, 사칙연산이 자유로이 시행 될 수 있고 산술의 잘 알려진 규칙들을 만족하는 대수구조
  ex) 유리수, 실수, 복소수의 연산