소행렬식(Minor Determinant)
행렬 \(A\)가 정의 되어 있을 때 소행렬은 A에서 i행과 j열을 제외한 행렬이 된다. 이 소행렬의 행렬식을 \(M_{ij}\)로 표기하고 소행렬식이라고한다.
예를 들면 다음과 같다.
\(A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}\) 일 때 \(M_{22}= \begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}\)
여인수(Minor Determinant)
소행렬식에 -1의 \(i+j\)승을 곱한 결과 \(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\)
ex) \(A=\begin{pmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9 \end{pmatrix}\\ M_{21} = -1 \times \begin{vmatrix}2&3\\8&9\\\end{vmatrix}=6\) \(M_{ij}\)는 행렬식이기 때문에 스칼라이다.
여인수로 이루어진 행렬을 \(C\)로 표기하고 여인수 행렬이라 한다.
여인수 행렬을 전치한 행렬을 수반행렬(adjoint matrix)이라 하고 \(adj A\)로 표기한다.
수반행렬을 이용하면 역행렬을 증명할 수 있다.
\(A\)와 \(adj A\)를 곱할 때 \(i=j\)일 때는 \(detA\)가 되고 \(i \ne j\)일 때 동일한 행에 대해 여인수를 구하는 것과 같기 때문에 0이 된다.
그렇다면 \(A(adj A)=(det A)I\)가 되기 때문에 \(A^{-1}=\frac{adj A}{det A}\)가 된다.
ex)
\(A=\begin{pmatrix} 2&3&-1\\ 5&2&7\\ 4&2&1 \end{pmatrix}\).
\(C=\begin{pmatrix} \begin{vmatrix} 2 & 7 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} & -1 \times \begin{vmatrix} 5 & 7 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 4 & 2 \end{vmatrix}\\ -1 \times \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} & -1 \times \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 2 \end{vmatrix}\\ \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 7 \end{vmatrix} & -1 \times \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 5 & 7 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} \end{pmatrix}\).
\(adj A = c^{T} = \begin{pmatrix} -12 & -5 & 23\\ 23 & 6 & -19\\ 2 & 8 & -11 \end{pmatrix}\).
\(A(adj A)=\begin{pmatrix} 23 & 0 & 0 \\ 0 & 23 & 0 \\ 0 & 0 & 23 \end{pmatrix} = (det A)I\).
\(A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{-12}{23} & \frac{-5}{23} & 1\\ 1 & \frac{6}{23} & \frac{-19}{23}\\ \frac{2}{23} & \frac{8}{23} & \frac{-11}{23} \end{pmatrix}\).
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