사상의 상(image)
\(n \times m\)사상 \(A\)에 의해 \(m\)차원의 벡터 \(x\)는 \(n\)차원의 벡터 \(y\)로 이동한다. \(Ax=y\) 이때, 주어진 \(A\)와 \(m\)차원의 벡터 \(x\)에 대해 만들어지는 공간들의 집합을 A의 상(image)라고 한다.
표기는 다음과 같다. \(ImA\) \(A\)의 열벡터를 이용해 다음과 같이 나타내기도 한다. \(Im A = span \{ a_{1}, ..., a_{m} \}\) \(n>m\)인 경우 \(m\)차원의 벡터 \(x\)에 의해 \(n\)차원의 상을 만들게 된다. 즉, 사상 \(A\)에 의해 차원의 증가가 일어난다.
이때, \(ImA\)내의 점 \(y\)에 대해 대응하는 \(x\)가 존재하지 않을 수 있다는 역설적인 관계가 된다.
이러한 경우를 현실에서는 노이즈, 섞이면 있어서는 안되는 결과 값이라고 본다. 이 부분은 수학적 논의와는 맞지 않다고 한다.
좀더 맞게 설명하자면 \(ImA\)가 \(n\)차원 공간 모두를 나타낼 수 있는가를 판단하면 된다.
‘어떤 결과 \(y\)에도 그것이 나오는 원인 \(x\)가 존재하는가’를 만족 했을 때 ‘사상 \(y=Ax\)는 전사 혹은 위로의 사상이다’라고 한다.
반대로 만족하지 않을 때는 ‘안으로의 사상’이라고 한다. (\(n>m\) 일때)
사상의 핵(Kernel),영공간(null space)
\[Ax=0\]위의 식을 만족하는 벡터 \(x\)의 집합을 핵 또는 영공간이라고 한다.
즉, 벡터\(y\)를 영벡터로 만드는 \(n\)차원의 벡터 \(x\)가 이루는 공간을 사상 A의 핵 또는 영공간이라고 한다. \(Ax=0\) 그리고 이 공간을 다음과 같이 표기한다. \(Ker A\) 같은 결과 \(y\)가 나오는 원인 \(x\)가 유일할 때 역행렬을 구할 수 있다. (즉, \(KerA\)의 차원은 0)
위의 문장이 성립할때 ‘사상 \(y=Ax\)는 단사 혹은 일대일 사상’이라고 한다.
만약 단사와 전사 모두 성립할때 ‘사상 \(y=Ax\)는 전단사이다’라고 한다.
차원 정리
차원 정리는 다음과 같이 짧게 정리할 수 있다.
\(n \times m\) 행렬 \(A\)에 대해
\(dim \ KerA + dim \ ImA=n\)이다. 여기서 \(dim\)은 차원을 나타낸다.
이를 이용하면 \(dim \ KerA\)혹은 \(imd \ ImA\)를 알고 있을 때 나머지 한쪽을 알 수 있다.
랭크(Rank)
사실 \(Im A\)의 차원 \(dim Im A\)에는 ‘행렬 \(A\)의 랭크(rank)’라는 이름이 있다. 기호로는 \(rank A\)로 나타낸다.
이를 차원정리로 다시 나타내면 다음과 같이 쓸 수 있다. \(dim \ Ker A + rank A = m\) 이를 다시 정리하면 다음과 같이 쓸 수 있다.
- \(rank A = n \Leftrightarrow\) A는 단사
-
\(rank A = m \Leftrightarrow\) A는 전사
- \(rank A\)는 \(n\) 이하이며 \(m\)이하이다.
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